답이 둘로 갈리는 이유

학교에서 배우는 기본 규칙은 “곱셈과 나눗셈은 같은 순위이고 왼쪽부터”예요. 이 규칙으로 6÷2(1+2)를 읽으면 6÷2 = 3을 먼저 하고 3×3 = 9가 돼요.

그런데 2(1+2)처럼 숫자와 괄호를 붙여 쓴 곱을 한 덩어리로 보는 약속도 널리 쓰여요. 1÷2x 를 보통 1/(2x)로 읽는 것과 같은 이유예요. 이렇게 읽으면 6÷(2×3) = 1이에요.

어느 한쪽이 틀렸다기보다 식을 쓰는 약속이 두 가지인 거예요. 그래서 계산기도 제품과 모델에 따라 1이 나오기도 하고 9가 나오기도 해요. 예를 들어 카시오 fx-570ES PLUS·fx-991ES PLUS 설명서의 계산 순서표(영어)에는 “곱하기 기호를 생략한 곱”이 곱하기·나누기보다 위에 있어요. 이 계산기도 그 방식을 따라요.

6÷2(1+2) 계산해 보기 ▸ 6÷2×(1+2) 계산해 보기 ▸

이 계산기의 계산 순서

표의 위쪽부터 먼저 계산해요. 같은 줄끼리는 왼쪽부터예요.

자주 헷갈리는 예

엑셀은 조금 달라요. 엑셀에 =-2^2 를 넣으면 부호를 먼저 붙여 4가 나와요. 같은 식이라도 프로그램마다 약속이 다를 수 있다는 걸 기억해 두세요.

지수 안의 지수

자연 표시 입력에서는 지수가 작은 칸에 들어가요. 지수 칸 안에서 다시 x^□ 를 누르면 지수 안의 지수가 되어 2³² = 2⁹ = 512 예요. 지수 칸에서 ▶ 로 빠져나온 다음 x² 를 누르면 (2³)² = 64 예요. 칸이 눈에 보이니 어떤 뜻인지 헷갈릴 일이 적어요.

헷갈리지 않게 쓰는 법

• 나누는 식은 분수 키 □/□ 로 쓰면 분모가 어디까지인지 눈에 보여요. 분자에 6, 분모에 2(1+2)를 넣으면 1이에요. 분수 6/2 를 쓰고 뒤에 ×(1+2)를 하면 9예요.
• 다른 사람에게 식을 보낼 때는 6÷(2(1+2)) 처럼 괄호를 하나 더 넣어요.
• 엑셀과 대부분의 프로그래밍 언어는 곱하기 생략을 쓸 수 없어서 6/2*(1+2) 처럼 써야 하고, 왼쪽부터 계산해 9가 나와요.

두 공식

표준편차는 자료가 평균에서 얼마나 퍼져 있는지를 나타내요. 각 값에서 평균을 뺀 편차를 제곱해 더한 뒤, 무엇으로 나누느냐만 달라요.

• 모표준편차 σ = √( Σ(x − x̄)² ÷ n )
• 표본표준편차 s = √( Σ(x − x̄)² ÷ (n − 1) )

계산기에서는 보통 σx 와 sx 로 표시해요. 엑셀에서는 STDEV.P 가 σ, STDEV.S(예전 이름 STDEV)가 s 예요.

직접 계산해 보기

자료 2, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 9 (n = 8)의 평균은 40 ÷ 8 = 5 예요.

• σ² = 32 ÷ 8 = 4 이라서 σ = 2
• s² = 32 ÷ 7 ≈ 4.571428571 이라서 s = √(32/7) ≈ 2.138089935

통계 화면에서 이 자료 열기 ▸

왜 n − 1 로 나누나요

표본의 평균 x̄ 는 표본 값들에 가장 가깝게 잡히는 값이라, 표본으로 구한 편차 제곱합은 진짜 모집단 평균으로 구했을 때보다 조금 작게 나오는 경향이 있어요. 그래서 n 대신 조금 작은 n − 1 로 나눠 모집단의 분산을 치우치지 않게 짐작해요. 이것을 베셀 보정이라고 불러요.

어느 것을 쓰나요

• σ: 우리 반 30명 전체의 시험 점수, 올해 열두 달의 매출처럼 알고 싶은 대상을 빠짐없이 다 가진 경우
• s: 공장에서 매일 10개를 뽑아 검사하거나 설문에서 1,000명에게 물어 전체를 짐작하는 경우
• 교과서 문제는 대부분 σ, 실험 보고서와 통계 검정은 대부분 s 를 써요. 헷갈리면 문제나 과제에서 “표본”이라는 말이 있는지 보세요.

자료가 많아지면 두 값의 차이는 작아져요. n = 100 이면 s 는 σ 의 √(100/99) ≈ 1.005 배라서 0.5% 정도만 커요.

라디안이란

도는 한 바퀴를 360 으로 나눈 단위예요. 라디안은 반지름과 같은 길이의 호가 만드는 각을 1 로 하는 단위예요. 한 바퀴의 호 길이는 2πr 이니까 한 바퀴는 2π 라디안이에요.

• 360° = 2π rad, 180° = π rad
• 1 rad = 180°/π ≈ 57.29577951°
• 도 → 라디안: × π/180, 라디안 → 도: × 180/π

180÷π 계산해 보기 ▸

자주 쓰는 각도

이 계산기는 이 각도들의 삼각함수 값을 위 표처럼 정확값으로 보여 줘요. S⇔D 를 누르면 소수로 바뀌어요(예: √3/2 → 0.8660254038).

어떤 단위를 언제 쓰나요

• DEG(도): 삼각형, 도형, 측량, 경사각, 방위처럼 각도를 눈으로 재는 문제
• RAD(라디안): 미분·적분, 호의 길이(l = rθ), 각속도, 진동과 파동 같은 물리 공식. sin x 를 미분하면 cos x 라는 공식도 라디안일 때만 맞아요.
• GRA(그레이드): 직각을 100 으로 나눈 단위예요. 일부 나라의 측량에서 써요. 거의 쓸 일이 없어요.

엑셀과 프로그래밍 언어의 SIN, COS 함수는 라디안을 받아요. 엑셀에서 30° 의 사인은 =SIN(RADIANS(30)) 처럼 써요.

계산기에서 바꾸는 법

• 화면 왼쪽 위 DEG·RAD·GRA 표시를 누를 때마다 차례로 바뀌어요. 설정에서 골라도 돼요.
• 도·분·초는 °′″ 키(SHIFT + 괄호)로 넣어요. 30°15′ 는 30.25° 예요.
• 결과를 도·분·초로 보려면 결과 아래 °′″ 를 눌러요.

이차방정식 예제

첫 번째 식을 공식에 넣으면 x = (2 ± √8)/2 = (2 ± 2√2)/2 = 1 ± √2 예요. √8 = 2√2 처럼 루트 안을 간단히 하는 것까지 계산기가 해 줘요.

y = x² − 2x − 1 의 그래프는 x = 1 에서 가장 낮고 그때 y = −2 예요(꼭짓점 (1, −2)). 방정식 화면은 근과 함께 이 꼭짓점도 보여 줘요.

방정식 화면에서 x²−2x−1=0 풀기 ▸

삼차·사차방정식

삼차방정식부터는 손으로 풀기가 어려워요. 계산기는 정수·분수 근을 먼저 찾아 차수를 낮추고, 남은 부분을 근의 공식이나 수치 계산으로 풀어요. 예: x³ − 6x² + 11x − 6 = 0 의 근은 1, 2, 3 이에요.

연립일차방정식

2x + 3y = 12, x − y = 1 을 풀면 x = 3, y = 2 예요. 둘째 식에서 x = y + 1 을 첫째 식에 넣으면 2(y + 1) + 3y = 12, 5y = 10 이라서 y = 2 예요.

연립방정식은 해가 하나가 아닐 수도 있어요.

• 해가 없음: x + y = 1, 2x + 2y = 3 처럼 왼쪽은 비례하는데 오른쪽은 비례하지 않을 때(평행한 두 직선)
• 해가 무수히 많음: x + y = 1, 2x + 2y = 2 처럼 두 식이 사실 같은 식일 때(겹치는 두 직선)

방정식 화면은 이런 경우를 “해 없음”, “해가 무수히 많음”으로 알려 줘요. 미지수는 4개까지 풀 수 있어요.

계산기로 풀 때 주의할 점

• 계수는 높은 차수부터 넣어요. 빠진 항은 0 을 넣어요. x² − 4 = 0 이면 a = 1, b = 0, c = −4 예요.
• 칸에는 1/3, √2, 2π 같은 식도 넣을 수 있어요.
• 근이 맞는지 확인하려면 계산기에서 근을 원래 식에 넣어 0 이 되는지 보세요.

순서가 있나 없나

5명(가, 나, 다, 라, 마) 중 2명을 뽑는다고 해 볼게요.

• 회장과 부회장을 뽑으면 (가 회장, 나 부회장)과 (나 회장, 가 부회장)이 달라요. 순서가 있으니 순열: 5 × 4 = 20가지
• 대표 2명을 뽑으면 {가, 나}와 {나, 가}가 같아요. 순서가 없으니 조합: 20 ÷ 2 = 10가지

조합은 순열을 “뽑힌 사람끼리 줄 세우는 경우의 수 r!”로 나눈 거예요. 그래서 nCr = nPr ÷ r! 이에요.

공식

• nPr = n! / (n − r)! = n × (n−1) × … × (n−r+1)
• nCr = n! / (r! × (n − r)!)
• n! = 1 × 2 × … × n, 0! = 1
• nCr = nC(n−r): 45개 중 6개를 고르는 수는 39개를 남기는 수와 같아요.

계산기에서 넣는 법

n 을 누르고 SHIFT ×(nPr) 또는 SHIFT ÷(nCr), 그다음 r 을 누르고 = 예요. 키보드로는 5P2, 5C2 처럼 대문자 P, C 를 써요. 팩토리얼은 SHIFT x⁻¹(x!) 이에요.

5P2 계산해 보기 ▸ 5C2 계산해 보기 ▸

예제

로또 1등 확률은 1 ÷ 45C6 = 1/8145060 ≈ 0.000000123 이에요. 계산기에서는 1.22773804×10⁻⁷ 처럼 지수 표기로 보여 줘요.

1÷45C6 계산해 보기 ▸

큰 수

팩토리얼은 금방 커져요. 70! 은 약 1.197857167×10¹⁰⁰ 이에요. 이 계산기는 정수 팩토리얼을 3000! 까지 계산해요. 너무 크면 지수 표기로 보여 줘요.

정확값으로 나오는 것

분수는 약분하고, 루트는 √12 = 2√3 처럼 밖으로 꺼낼 수 있는 만큼 꺼내요. 분모의 루트는 없애서 1/√3 대신 √3/3 으로 보여 줘요. 교과서 답과 같은 모양이라 숙제 답을 맞춰 보기 좋아요.

log, ln, e 가 들어간 값, 정확값이 너무 길어지는 값은 처음부터 소수로 보여 줘요.

√12 계산해 보기 ▸ sin 60 계산해 보기 ▸

왜 정확값이 좋나요

컴퓨터는 0.1 같은 소수를 2진수로 정확히 담지 못해서 아주 작은 오차가 생겨요. 그래서 많은 프로그램이 0.1 + 0.2 − 0.3 을 0 이 아니라 5.55×10⁻¹⁷ 같은 아주 작은 수로 계산해요. 이 계산기는 0.1 을 1/10 로 계산해서 0 이 나와요.

0.1+0.2−0.3 계산해 보기 ▸

소수로 보는 법

• S⇔D: 결과 아래 단추. 정확값 ⇔ 소수를 오가요.
• SHIFT =(≈): 처음부터 소수로 계산해요.
• 소수점을 넣은 식: 0.5 × 3 처럼 소수를 넣으면 답도 1.5 처럼 소수로 보여 줘요. 설정에서 “소수를 넣으면 결과도 소수로”를 끄면 3/2 로 보여 줘요.
• 소수 결과에서 S⇔D 를 누르면 분수로 나타낼 수 있을 때 분수로 바꿔 줘요.

몇 자리까지 보이나요

• 보통(Norm): 유효숫자 10자리. 10¹⁰ 이상이나 10⁻⁹ 미만은 1.23×10¹² 처럼 지수 표기예요.
• Fix: 소수점 아래 자리를 0~9자리로 고정해요. 돈 계산은 Fix 2 가 편해요.
• Sci: 유효숫자 1~10자리 지수 표기로 보여 줘요. 실험값을 유효숫자 3자리로 쓸 때 Sci 3 을 써요.
• ENG: 결과 아래 단추. 지수를 3의 배수(10³, 10⁻⁶)로 맞춰서 k, m, μ 같은 단위로 읽기 쉬워요.

반올림은 사사오입이에요. 표시만 반올림하고 계산은 원래 값으로 이어 가요. 반올림한 값으로 계산하고 싶으면 함수 목록의 Rnd 를 써요.